ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA
ESAP
MATERIAL DE ESTADÍSTICA II.
PARA ESTUDIANTES DE IV. SEMESTRE DE APT
CETAP POPAYÁN
Esp.
Fabián Orozco Méndez
Tutor.
Combinaciones y permutaciones
¿Qué diferencia hay?
Normalmente usamos la palabra
"combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de
las cosas es importante. En otras palabras:
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"Mi
ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden
pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o
"uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
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"La
combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa
el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser
exactamente 4-7-2.
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Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
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|
Si el
orden no importa, es una combinación.
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Si el
orden sí importa es una permutación.
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¡Así
que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"!
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Con otras palabras:
Una permutación es una combinación ordenada.
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Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutación... Posición"
|
Permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:
- Se permite repetir: como
la cerradura de arriba, podría ser "333".
- Sin repetición: por
ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo
a la vez.
1. Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas
para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones
posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para
la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la
segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10
números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 =
1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
|
nr
|
|
donde n es
el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de
ellas
(Se puede repetir, el orden importa) |
2. Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número
de opciones en cada paso.
|
Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de
billar?
Después de elegir por ejemplo la "14"
no puedes elegirla otra vez.
|
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades,
y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total
de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3
de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3
bolas de billar de entre 16.
|
La función
factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:
|
|
|
Nota: en general se está de acuerdo en que 0!
= 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1,
pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.
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|
Así que si quieres elegir todas las
bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de
multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos
entre 13!...
|
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...
|
= 16 ×
15 × 14 = 3360
|
|
|
13 × 12 ...
|
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
|
donde n es
el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de
ellas
(No se puede repetir, el orden importa) |
Ejemplos:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de
16" sería:
|
16!
|
=
|
16!
|
=
|
20,922,789,888,000
|
= 3360
|
|
(16-3)!
|
13!
|
6,227,020,800
|
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo
premio entre 10 personas?
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10!
|
=
|
10!
|
=
|
3,628,800
|
= 90
|
|
(10-2)!
|
8!
|
40,320
|
(que es lo mismo que: 10
× 9 = 90)
Notación
En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa
otras notaciones como:
Combinaciones
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda
que ahora el orden no importa):
- Se puede repetir: como
monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
- Sin repetición: como
números de lotería (2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones con repetición
En realidad son las más difíciles de explicar, así
que las dejamos para luego.
2. Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de
uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces
has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
- imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
- después lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que
queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros,
porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2
y 3. Las posibilidades son:
|
El orden importa
|
El orden no importa
|
|
1 2 3
1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 |
1 2 3
|
Así que las permutaciones son 6 veces más
posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas
maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! =
4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de
permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los
objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
Esta fórmula es tan importante que normalmente se
la escribe con grandes paréntesis, así:
|
donde n es
el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de
ellas
(No se puede repetir, el orden no importa) |
Y se la llama "coeficiente binomial".
Notación
Además de los "grandes paréntesis", la
gente también usa estas notaciones:
Ejemplo
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora
sin orden) es:
|
16!
|
=
|
16!
|
=
|
20,922,789,888,000
|
= 560
|
|
3!(16-3)!
|
3!×13!
|
6×6,227,020,800
|
O lo puedes hacer así:
|
16×15×14
|
=
|
3360
|
= 560
|
|
3×2×1
|
6
|
Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!"
... o mejor todavía...
¡Recuerda la fórmula!
Es interesante darse cuenta de que la fórmula es
bonita y simétrica:
Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las
mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.
|
16!
|
=
|
16!
|
=
|
16!
|
= 560
|
|
3!(16-3)!
|
13!(16-13)!
|
3!×13!
|
Triángulo de Pascal
Puedes usar el triángulo
de Pascal para
calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la
derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un
trozo de la fila 16:
1
14 91 364 ...
1
15 105 455 1365 ...
1
16 120 560 1820
4368 ...
1. Combinaciones con repetición
OK, ahora vamos con este...
|
|
Digamos que tenemos cinco sabores de
helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar
3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?
Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l,
f, v}. Algunos ejemplos son
|
(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas
para elegir, y eliges r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
Bien, no puedo decirte directamente cómo se
calcula, pero te voy a enseñar una técnica especial para que
lo averigües tú mismo.
|
Imagina que el helado está en contenedores,
podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate
los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate!
|
|
|
Entonces
es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada,
tendrás lo que quieres.
|
Ahora puedes escribirlo como (la flecha es saltar, el
círculo es tomar)
Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden
escribir así:
|
{c, c,
c} (3 de chocolate):
|
|
|
{b, l,
v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla):
|
|
|
{b, v,
v} (uno de banana, dos de vainilla):
|
|
OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por
diferentes sabores, ahora tenemos un problema más simplepara
resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar flechas y círculos"
Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de
helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al
5º).
Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones,
y queremos que r de ellas tengan círculos.
Esto es como decir "tenemos r +
(n-1) bolas de billar y queremos elegir r de
ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con
números un poco distintos. Lo podrías escribir así:
|
donde n es
el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de
ellas
(Se puede repetir, el orden no importa) |
Es interesante pensar que podríamos habernos fijado
en flechas en vez de círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r
+ (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan
flechas", y la respuesta sería la misma...
¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?
|
(5+3-1)!
|
=
|
7!
|
=
|
5040
|
= 35
|
|
3!(5-1)!
|
3!×4!
|
6×24
|
En conclusión
¡Uau, es un montón de cosas que absorber, quizás
tendrías que leerlo otra vez para entenderlo todo bien!
Pero saber cómo funcionan estas
fórmulas es sólo la mitad del trabajo. Averiguar cómo se interpreta una
situación real puede ser bastante complicado.
Por lo menos ahora sabes cómo se calculan las 4
variantes de "el orden sí/no importa" y "sí/no se puede
repetir".
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